Balti Tee 2025 · Ülesanne 14

Geomeetria

In an acute triangle $ABC$ with $AB<AC$ , the circumcircle is $\omega$ and the orthocentre is $H$ . The point $P$ on major arc $BC$ of $\omega$ satisfies $\angle PCB+\angle ACB=90^\circ$ . The point $R$ on segment $AC$ satisfies $BR=CR$ . Prove that $\angle HPR=\angle ACB$ .

Muuda valikut

Kui oled valmis

Ülevaatematerjal muutub kättesaadavaks järgmise päevaülesannete komplektiga.

Ülevaade

Teemad

Ringjooned ja puutujad · Tsükliline geomeetria · Kolmnurgad ja märkimisväärsed punktid

Lahendused

Lahendus

Let $BH$ meet $\omega$ again at $P'$ . Then

\angle CBP'=90^\circ-\angle ACB=\angle PCB,

so $PBCP'$ is an isosceles trapezoid.

By symmetry, triangles $BPR$ and $CP'R$ are congruent, while triangles $CRH$ and $CRP'$ are mirror images with respect to $AC$ . Therefore there is a rotation sending $\triangle BRP$ to $\triangle CRH$ . Hence $\triangle PRH\sim\triangle CBR$ , and so

\angle HPR=\angle ACB.

Võistluse kontekst

Balti Tee tulemused 2025

11 võistkonda

Keskmine tulemus: 1,8 / 5
4 või 5 punkti: 3 / 11
Eesti: 5 / 5

Punktijaotus

Kõigi võistkondade punktid

Võistkond	Punktid
Germany	5 / 5
Estonia	5 / 5
Poland	0 / 5
Lithuania	1 / 5
Norway	1 / 5
Latvia	0 / 5
Finland	5 / 5
Denmark	1 / 5
Sweden	0 / 5
Ukraine	1 / 5
Iceland	1 / 5

Ülevaade

Teemad

Lahendused

Võistluse kontekst

Mujal