Balti Tee 2024 · Ülesanne 13

Geomeetria

Let $A B C$ be an acute triangle with orthocentre $H$ . Let $D$ be a point outside the circumcircle of triangle $A B C$ such that $\angle A B D=\angle D C A$ . The reflection of $A B$ in $B D$ intersects $C D$ at $X$ . The reflection of $A C$ in $C D$ intersects $B D$ at $Y$ . The lines through $X$ and $Y$ perpendicular to $A C$ and $A B$ , respectively, intersect at $P$ . Prove that points $D, P$ and $H$ are collinear.

Muuda valikut

Kui oled valmis

Ülevaatematerjal muutub kättesaadavaks järgmise päevaülesannete komplektiga.

Ülevaade

Teemad

Ringjooned ja puutujad · Tsükliline geomeetria · Kolmnurgad ja märkimisväärsed punktid

Lahendused

Lahendus

From the reflections, we have

\angle D B X=180^{\circ}-\angle D B A=180^{\circ}-\angle D C A=\angle D C Y

(Fig. 15), so points $B, C, X, Y$ are concyclic. Define $Q=X P \cap B D$ and $R=Y P \cap C D$ (Fig. 16). Then due to the right angles, we find $\angle D Y R=\angle D X Q$ . Hence points $Q, R, X, Y$ are concyclic, too. Consequently, $\angle D Q R=\angle D X Y=\angle D B C$ , so $B C \| Q R$ . Since also $B H \| P Q$ and $C H \| P R$ , it follows that triangle $B H C$ is a homothetic image of triangle $Q P R$ with center $D$ . Hence $D, P$ and $H$ are collinear. Official solution diagram for Baltic Way 2024 Problem 13 (Figure 15).

Figure 15 Official solution diagram for Baltic Way 2024 Problem 13 (Figure 16).

Figure 16

Võistluse kontekst

Balti Tee tulemused 2024

11 võistkonda

Keskmine tulemus: 2,0 / 5
4 või 5 punkti: 3 / 11
Eesti: 5 / 5

Punktijaotus

Kõigi võistkondade punktid

Võistkond	Punktid
Poland	5 / 5
Estonia	5 / 5
Germany	2 / 5
Ukraine	5 / 5
Latvia	1 / 5
Norway	1 / 5
Lithuania	1 / 5
Sweden	1 / 5
Denmark	0 / 5
Finland	1 / 5
Iceland	0 / 5

Ülevaade

Teemad

Lahendused

Võistluse kontekst

Mujal