Balti Tee 1993 · Ülesanne 5

Arvuteooria

Prove that for any odd positive integer $n, n^{12}-n^{8}-n^{4}+1$ is divisible by $2^{9}$ .

Kui oled valmis

Ülevaatematerjal muutub kättesaadavaks järgmise päevaülesannete komplektiga.

Ülevaade

Jaguvus ja tegurdamine

Lahendus

Solution:

Factorizing the expression, we get

n^{12} - n^{8} - n^{4} + 1 = (n^{4} + 1)(n^{2} + 1)^{2}(n - 1)^{2}(n + 1)^{2}.

Now note that one of the two even numbers $n - 1$ and $n + 1$ is divisible by $4$ .

Balti Tee tulemused 1993

8 võistkonda

Punktijaotus

Kõigi võistkondade punktid