BW26
OtsingEN
Menüü
ÜlesandedPäevaülesandedJuhuslikHarjutuskomplekt

Päevaülesanne

Juhuslik

Harjutuskomplekt

Balti Tee 1991 · Ülesanne 7

Geomeetria

Let A,B,CA, B, C be the angles of an acute-angled triangle. Prove the inequality

sin⁡A+sin⁡B>cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C\sin A+\sin B>\cos A+\cos B+\cos C
Muuda valikut

Kui oled valmis

Ülevaatematerjal muutub kättesaadavaks järgmise päevaülesannete komplektiga.

Ülevaade

Teemad

Koordinaadid ja vektorid · Geomeetrilised võrratused · Kolmnurgad ja märkimisväärsed punktid

Lahendused

Lahendus

Solution: In an acute-angled triangle we have A+B>π2A + B > \frac{\pi}{2}. Hence we have sin⁡A>sin⁡(π2−B)=cos⁡B\sin A > \sin \left(\frac{\pi}{2} - B\right) = \cos B and sin⁡B>cos⁡A\sin B > \cos A. Using these inequalities we get (1−sin⁡A)(1−sin⁡B)<(1−cos⁡A)(1−cos⁡B)(1 - \sin A)(1 - \sin B) < (1 - \cos A)(1 - \cos B) and

sin⁡A+sin⁡B>cos⁡A+cos⁡B−cos⁡Acos⁡B+sin⁡Asin⁡B=cos⁡A+cos⁡B−cos⁡(A+B)=cos⁡A+cos⁡B+cos⁡C\begin{aligned} \sin A + \sin B &> \cos A + \cos B - \cos A \cos B + \sin A \sin B \\ &= \cos A + \cos B - \cos (A + B) = \cos A + \cos B + \cos C \end{aligned}

Mujal